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Nivel secundario
Teorema de Pitágoras: cuándo usarlo y cómo despejar
El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Parece fácil, y lo es, pero en las pruebas aparecen dos trampas: no reconocer dónde está el triángulo rectángulo dentro del problema y despejar mal cuando lo que falta es un cateto. Una vez que lo dominás, lo vas a usar en trigonometría, en física y en geometría analítica.
El tema
Para arrancar
En clase practicamos con dibujos: diagonales de rectángulos, alturas de triángulos isósceles, escaleras, rampas y distancias en un plano. También vemos cómo usar el teorema al revés para comprobar si un triángulo es rectángulo, y cómo trabajar cuando los resultados son raíces que no son exactas. Siempre empezamos dibujando y marcando el ángulo recto, porque ahí está la mitad del ejercicio resuelto.
Conceptos clave
Lo que tenés que entender
Enunciado
h² = a² + b², donde h es la hipotenusa (el lado más largo, opuesto al ángulo recto) y a y b son los catetos.
Calcular la hipotenusa
Se suman los cuadrados de los catetos y se saca la raíz cuadrada del resultado.
Calcular un cateto
Se resta: cateto² = h² - otro cateto². Si sumás, el resultado da más largo que la hipotenusa, y eso es imposible.
Triángulos escondidos
La diagonal de un rectángulo, la altura de un isósceles o la distancia entre dos puntos del plano forman triángulos rectángulos.
Recíproco
Si en un triángulo se cumple h² = a² + b², entonces es rectángulo. Sirve para verificar construcciones.
Paso a paso
Un ejercicio como los de la prueba
Resuelto como lo hacemos en clase: primero la idea, después la cuenta.
Ejercicio resuelto
Un terreno rectangular mide 12 m de largo y 9 m de ancho. ¿Cuánto mide su diagonal? Si en otro rectángulo la diagonal mide 15 m y un lado 9 m, ¿cuánto mide el otro lado?
- La diagonal divide al rectángulo en dos triángulos rectángulos con catetos 12 m y 9 m.
- d² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225, entonces d = √225 = 15 m.
- Segunda parte: lado² = 15² - 9² = 225 - 81 = 144.
- lado = √144 = 12 m.
Resultado La diagonal mide 15 m, y el lado que falta en el segundo rectángulo mide 12 m.
Ojo con esto
Los errores típicos
- Sumar los cuadrados cuando lo que falta es un cateto.
- Usar el teorema en triángulos que no son rectángulos.
- Olvidarse de sacar la raíz al final.
- Pensar que √(a² + b²) es igual a a + b.
- No identificar cuál lado es la hipotenusa.
En clase
Cómo lo trabajamos con Gabriela
Trabajamos siempre con un dibujo y marcando el ángulo recto. Practicamos problemas donde el triángulo no está a la vista, que son los que más aparecen en las pruebas, y revisamos el uso de la raíz en la calculadora.
¿En qué año se ve el teorema de Pitágoras?
Suele verse en 2° año. En la NES de CABA forma parte de los contenidos del Ciclo Básico; en otras escuelas aparece en 3° junto con trigonometría.
¿Pitágoras sirve para cualquier triángulo?
No, solo para triángulos rectángulos. Para los demás se usan los teoremas del seno y del coseno.
¿Qué hago si la raíz no da exacta?
Podés dejar el resultado como raíz, por ejemplo √50, simplificarlo como 5√2 o aproximarlo con la calculadora, según lo que pida tu profe.
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