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Ingreso a USAL, UCA y Di Tella
Función lineal y cuadrática para el curso de ingreso
Las funciones lineal y cuadrática son el cierre de muchos programas de matemática de ingreso y el punto de partida de las materias de primer año. En el ingreso a ingenierías de la UCA, por ejemplo, el programa pide la ecuación explícita de la recta, la interpretación de pendiente y ordenada, paralelismo y perpendicularidad, y la función cuadrática con sus ecuaciones y gráficos.
El tema
Para arrancar
Lo que suele costar no es graficar, sino encontrar la ecuación a partir de datos: una recta que pasa por un punto y es perpendicular a otra, o una parábola de la que conocés el vértice y otro punto. Con unas pocas fórmulas bien entendidas, esos ejercicios se resuelven rápido y con seguridad.
Conceptos clave
Lo que tenés que entender
Pendiente y ordenada al origen
En y = mx + b, m es la pendiente, es decir cuánto cambia y por cada unidad que aumenta x, y b es el valor donde la recta corta al eje y.
Recta por un punto o por dos puntos
Con un punto (x₀, y₀) y la pendiente m, la recta es y - y₀ = m(x - x₀). Con dos puntos, primero se calcula m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁).
Paralelas y perpendiculares
Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1. Las rectas verticales y horizontales son casos especiales.
Intersección de rectas y sistemas
El punto donde se cortan dos rectas es la solución del sistema formado por sus ecuaciones. Se resuelve igualando, sustituyendo o restando ecuaciones.
Parábola y vértice
En y = ax² + bx + c, el signo de a indica hacia dónde abre y el vértice está en x = -b/(2a). La forma canónica y = a(x - h)² + k muestra el vértice (h, k).
Problemas de aplicación
Muchos problemas de ingreso se modelan con rectas (costos, tarifas) o parábolas (áreas, trayectorias). Lo importante es traducir el enunciado a una función.
Paso a paso
Un ejercicio como los de la prueba
Resuelto como lo hacemos en clase: primero la idea, después la cuenta.
Ejercicio resuelto
Hallar la ecuación de la recta perpendicular a y = 2x - 3 que pasa por el punto (4, 1), y calcular el punto de intersección entre ambas rectas.
- La recta dada tiene pendiente 2, así que la perpendicular tiene pendiente m = -1/2.
- Usamos punto y pendiente: y - 1 = -1/2·(x - 4), entonces y = -x/2 + 2 + 1, o sea y = -x/2 + 3.
- Control: con x = 4, y = -2 + 3 = 1. Pasa por (4, 1).
- Intersección: 2x - 3 = -x/2 + 3. Multiplicamos por 2: 4x - 6 = -x + 6, entonces 5x = 12 y x = 12/5.
- Reemplazando en y = 2x - 3: y = 24/5 - 15/5 = 9/5. En la otra recta: -6/5 + 15/5 = 9/5. Coincide.
Resultado La recta perpendicular es y = -x/2 + 3 y se corta con y = 2x - 3 en el punto (12/5, 9/5).
Ojo con esto
Los errores típicos
- Tomar como pendiente perpendicular -2 o 1/2 en lugar de -1/2.
- Confundir la ordenada al origen con el punto dado del enunciado.
- Al resolver el sistema, reemplazar la x en una sola recta y no verificar en la otra.
- Escribir el vértice como (-b/2a, 0) sin calcular la coordenada y.
- Graficar la parábola sin tener en cuenta el signo de a.
En clase
Cómo lo trabajamos con Gabriela
En la clase trabajamos con pocos recursos bien entendidos, punto y pendiente, condición de perpendicularidad y vértice, y los aplicamos a todos los tipos de ejercicio que aparecen en el ingreso. Hacemos énfasis en verificar cada resultado con un reemplazo rápido y en pasar de un problema con enunciado a la función que lo representa.
¿Cómo encuentro la ecuación de una parábola conociendo el vértice?
Usá la forma canónica y = a(x - h)² + k con el vértice (h, k). Para encontrar a, reemplazás otro punto del gráfico y despejás. Después, si te la piden en forma polinómica, desarrollás el cuadrado.
¿Qué pasa si las rectas son paralelas?
Si tienen la misma pendiente y distinta ordenada, no se cortan y el sistema no tiene solución. Si además tienen la misma ordenada, son la misma recta y el sistema tiene infinitas soluciones.
¿Esto entra también en el CBC?
Sí, la función lineal y la cuadrática son parte de la segunda unidad de Matemática 51 del CBC y se usan durante toda la materia. Si después del ingreso vas a cursar matemática en el primer año, este tema es una base que conviene tener firme.
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