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Matemática (51) del CBC
Límites y asíntotas de funciones racionales en el CBC
Los límites son el primer tema de Matemática 51 que no se parece a nada de la secundaria, y por eso es común sentir que la teoría no se conecta con los ejercicios. En la práctica, lo que te van a pedir es calcular límites concretos, salvar indeterminaciones y usar esos límites para encontrar las asíntotas de una función.
El tema
Para arrancar
La función homográfica, del tipo (ax + b)/(cx + d), es el ejemplo que más aparece en los parciales. Si aprendés a sacar su dominio, sus asíntotas, su cero y su imagen con criterio, tenés resuelta buena parte de la unidad. Y esa misma lógica la vas a necesitar después con exponenciales, logaritmos y en el estudio completo de funciones del segundo parcial.
Conceptos clave
Lo que tenés que entender
Idea de límite
El límite de f(x) cuando x tiende a a describe a qué valor se acerca la función cuando x se acerca a a, sin importar lo que pase exactamente en a. Por eso puede existir aunque la función no esté definida en ese punto.
Límites laterales
Cuando la función se comporta distinto a la izquierda y a la derecha de un punto, se calculan por separado los límites cuando x tiende a a por izquierda (a⁻) y por derecha (a⁺). Es clave para ver hacia dónde se va el gráfico cerca de una asíntota vertical.
Indeterminación 0/0
Si al reemplazar queda 0/0, no significa que el límite no exista: hay que factorizar numerador y denominador, simplificar el factor común y volver a reemplazar.
Asíntota vertical
La recta x = a es asíntota vertical si el límite de f cuando x tiende a a es infinito. En una función racional pasa donde se anula el denominador pero no el numerador.
Asíntota horizontal
La recta y = L es asíntota horizontal si el límite de f cuando x tiende a infinito es L. En la homográfica (ax + b)/(cx + d), esa asíntota es y = a/c.
Imagen de la homográfica
Como la función nunca toma el valor de su asíntota horizontal, la imagen de una homográfica es todos los reales menos ese valor.
Paso a paso
Un ejercicio como los de la prueba
Resuelto como lo hacemos en clase: primero la idea, después la cuenta.
Ejercicio resuelto
Sea f(x) = (3x - 1)/(x - 2). Hallar dominio, asíntotas, cero e imagen de f, y calcular los límites laterales cuando x tiende a 2.
- Dominio: el denominador se anula en x = 2, entonces Dom f = ℝ - {2}.
- Asíntota vertical: en x = 2 el numerador vale 3·2 - 1 = 5 ≠ 0, así que x = 2 es asíntota vertical.
- Límites laterales: si x tiende a 2⁺, el numerador tiende a 5 y el denominador tiende a 0 con valores positivos, entonces f tiende a +∞. Si x tiende a 2⁻, el denominador es negativo y f tiende a -∞.
- Asíntota horizontal: el límite cuando x tiende a ±∞ de (3x - 1)/(x - 2) es 3/1 = 3 (dividiendo numerador y denominador por x). La asíntota horizontal es y = 3.
- Cero: 3x - 1 = 0, entonces x = 1/3.
- Imagen: la homográfica toma todos los valores salvo el de la asíntota horizontal, así que Im f = ℝ - {3}.
Resultado Dom f = ℝ - {2}; AV: x = 2 (con f → +∞ por derecha y f → -∞ por izquierda); AH: y = 3; cero en x = 1/3; Im f = ℝ - {3}.
Ojo con esto
Los errores típicos
- Decir que hay asíntota vertical en todo punto donde se anula el denominador, aunque también se anule el numerador.
- Responder que el límite no existe apenas aparece 0/0, sin intentar factorizar.
- Confundir la asíntota horizontal con el valor de la función en x = 0.
- Calcular un solo límite lateral y sacar conclusiones sobre los dos lados.
- Dar como imagen todos los reales, sin excluir el valor de la asíntota horizontal.
En clase
Cómo lo trabajamos con Gabriela
En clase trabajamos los límites con ejercicios concretos de tu guía y les damos sentido mirando el gráfico: qué pasa cerca de la asíntota, hacia dónde se va la función por cada lado. Practicamos las factorizaciones que más se usan para salvar indeterminaciones y armamos un esquema para analizar cualquier homográfica en pocos minutos, que es justo lo que necesitás en el parcial.
¿Cómo calculo un límite cuando x tiende a infinito?
En funciones racionales se divide numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador. Los términos con x en el denominador tienden a 0 y queda el cociente de los coeficientes principales cuando los grados son iguales. Si el numerador tiene mayor grado, el límite es infinito.
¿Una función puede cortar a su asíntota horizontal?
Sí, en general puede cortarla para valores finitos de x, porque la asíntota describe el comportamiento en el infinito. En la homográfica no pasa, y por eso su imagen excluye justamente ese valor.
¿Me piden la definición formal de límite?
Depende de la cátedra. Algunos programas mencionan la definición formal, pero en los parciales lo habitual es calcular límites y usarlos para asíntotas. Conviene revisar parciales anteriores de tu cátedra para ver qué nivel de teoría toman.
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