Matemática (51) del CBC

Composición de funciones y función inversa en Matemática 51

Composición e inversa son temas cortos en el programa pero aparecen en casi todos los primeros parciales, muchas veces combinados con homográficas, exponenciales o logaritmos. El problema típico no es el despeje en sí, sino los dominios: componer sin revisar qué valores puede recibir cada función, o dar la inversa sin decir dónde está definida.

Pedí una clase sobre este tema

El tema

Para arrancar

Si te pasa que hacés las cuentas bien pero igual te descuentan puntos, probablemente sea por eso. La clave es entender que una inversa intercambia dominio e imagen, y que en una composición la función de adentro tiene que caer en el dominio de la de afuera. Con eso claro, los ejercicios se ordenan solos y podés controlar tus resultados sin depender de la resolución de la guía.

Conceptos clave

Lo que tenés que entender

Composición de funciones
(f∘g)(x) = f(g(x)): primero se aplica g y al resultado se le aplica f. En general f∘g y g∘f son funciones distintas, así que el orden importa.
Dominio de la composición
Un x está en el dominio de f∘g si está en el dominio de g y además g(x) está en el dominio de f. Hay que revisar las dos condiciones.
Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
Una función es inyectiva si valores distintos de x dan imágenes distintas, y sobreyectiva si alcanza todo el conjunto de llegada. Solo las biyectivas tienen inversa, por eso a veces hay que restringir dominio o codominio.
Cálculo de la inversa
Se escribe y = f(x), se despeja x en función de y y después se renombran las variables. El resultado debe cumplir f(f⁻¹(x)) = x.
Dominio e imagen de la inversa
El dominio de f⁻¹ es la imagen de f, y la imagen de f⁻¹ es el dominio de f. Esto ahorra cuentas y sirve para controlar el resultado.
Gráfico de la inversa
El gráfico de f⁻¹ es el simétrico del gráfico de f respecto de la recta y = x. Las asíntotas también se intercambian: una vertical pasa a ser horizontal y viceversa.

Paso a paso

Un ejercicio como los de la prueba

Resuelto como lo hacemos en clase: primero la idea, después la cuenta.

Ejercicio resuelto

Sea f(x) = (2x + 1)/(x - 3). a) Hallar dominio e imagen de f. b) Calcular f⁻¹ indicando su dominio e imagen. c) Si g(x) = x + 3, hallar f∘g y su dominio.

a) El denominador se anula en x = 3, entonces Dom f = ℝ - {3}. La asíntota horizontal es y = 2/1 = 2, así que Im f = ℝ - {2}.
b) Escribimos y = (2x + 1)/(x - 3). Multiplicando: y(x - 3) = 2x + 1, o sea yx - 3y = 2x + 1.
Agrupamos los términos con x: yx - 2x = 3y + 1, entonces x(y - 2) = 3y + 1 y x = (3y + 1)/(y - 2).
Renombrando, f⁻¹(x) = (3x + 1)/(x - 2), con Dom f⁻¹ = ℝ - {2} e Im f⁻¹ = ℝ - {3}, que son la imagen y el dominio de f intercambiados.
Control: f⁻¹(f(0)) debe dar 0. f(0) = 1/(-3) = -1/3 y f⁻¹(-1/3) = (-1 + 1)/(-1/3 - 2) = 0. Correcto.
c) f(g(x)) = (2(x + 3) + 1)/((x + 3) - 3) = (2x + 7)/x. Como g está definida en todo ℝ y g(x) = 3 solo cuando x = 0, el dominio de f∘g es ℝ - {0}.

Resultado Dom f = ℝ - {3}, Im f = ℝ - {2}; f⁻¹(x) = (3x + 1)/(x - 2) con Dom f⁻¹ = ℝ - {2} e Im f⁻¹ = ℝ - {3}; (f∘g)(x) = (2x + 7)/x con dominio ℝ - {0}.

Ojo con esto

Los errores típicos

Confundir f⁻¹(x) con 1/f(x).
Calcular f∘g cuando el ejercicio pedía g∘f.
Dar el dominio de la composición mirando solo la fórmula final, sin revisar el dominio de la función de adentro.
Al despejar la inversa, no agrupar los términos con x y quedar con x en los dos miembros.
Olvidarse de que la función tiene que ser biyectiva para tener inversa, sobre todo con cuadráticas.

En clase

Cómo lo trabajamos con Gabriela

En la clase vemos el despeje paso a paso con homográficas, exponenciales y logaritmos, que son las inversas que más se toman. Te enseño a controlar el resultado en diez segundos con un valor de prueba y a escribir dominio e imagen sin hacer cuentas extra, usando el intercambio entre f y f⁻¹. También practicamos composiciones con dominio restringido, que es donde se pierden más puntos.

Ver todo Matemática (51) del CBC

Dudas

Preguntas sobre este tema

¿No está tu pregunta? Escribinos.

¿Cómo sé si una función tiene inversa?

Tiene que ser biyectiva entre los conjuntos que se indican. Gráficamente, si cualquier recta horizontal corta al gráfico como mucho una vez, es inyectiva. Una cuadrática no lo es en todo ℝ, pero sí si restringís el dominio a un lado del vértice.

¿La inversa de una exponencial es siempre un logaritmo?

Sí: si f(x) = aˣ con a > 0 y a ≠ 1, su inversa es log_a(x). Con funciones como f(x) = 2ˣ⁻¹ + 3 se despeja en orden: restás 3, aplicás logaritmo en base 2 y despejás x, cuidando que el dominio de la inversa sea x > 3.

¿f∘g y g∘f pueden ser iguales?

Puede pasar en casos particulares, por ejemplo cuando g es la inversa de f, pero en general son distintas. Por eso en el parcial conviene escribir explícitamente qué función va adentro antes de reemplazar.

Seguí por acá

Otros temas de Matemática (51) del CBC

Precios claros

Una hora, un precio. Diez horas, mejor precio.

Precios en pesos argentinos, vigentes a noviembre de 2026.

Para alumnos nuevos

Primera clase

Gratis

Una clase de una hora, sin cargo
Conocés a Gabriela, el método y el aula
Sin compromiso de seguir

Reclamá tu clase gratis

Clase suelta

$40.000/ hora

Clase particular de una hora
Ideal antes de una prueba o un parcial
Reservás cuando la necesitás

Reservar una clase

La más elegida

Pack 10 clases prepagas

$35.000/ hora

$350.000 en total · ahorrás $50.000

10 horas para todo el cuatrimestre o el trimestre
Plan de estudio con tus fechas de examen
La mejor opción para el CBC y los ingresos

Quiero el pack

¿Seguís trabado con este tema?

Mandanos el ejercicio por WhatsApp y armamos la clase sobre eso. La primera clase es gratis.

Reclamá tu clase gratis

Composición de funciones y función inversa en Matemática 51

Para arrancar

Lo que tenés que entender